在数学分析中，求解一个函数的原函数是一个常见的问题。这里我们讨论的是函数 sin²x 的原函数。为了更好地理解这一过程，我们需要运用一些基本的积分技巧和三角恒等式。

首先，我们知道 sin²x 可以通过三角恒等式转化为更易于积分的形式：

\[

\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

\]

这个恒等式来源于双角公式，它将平方项分解为一个常数项与余弦函数的组合。接下来，我们可以将这个表达式代入积分公式中：

\[

\int \sin^2x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx

\]

将其拆分为两个部分进行积分：

\[

= \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx

\]

第一个积分非常简单，结果为：

\[

\frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{x}{2}

\]

对于第二个积分，我们需要使用变量替换法。令 \( u = 2x \)，则 \( du = 2dx \)，因此：

\[

\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du = \frac{\sin(u)}{2} = \frac{\sin(2x)}{2}

\]

将这两个结果结合起来，我们得到：

\[

\int \sin^2x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C

\]

其中，\( C \) 是积分常数。因此，sin²x 的原函数为：

\[

\boxed{\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C}

\]

通过这种方式，我们不仅找到了 sin²x 的原函数，还复习了三角恒等式的应用以及积分的基本方法。这种技巧在解决复杂的积分问题时非常有用。