假设我们要对多项式 \( x^2 + 5x + 6 \) 进行因式分解。

第一步：确定首尾系数

首先，观察多项式的结构，这里 \( x^2 \) 的系数是 1（即首项系数），常数项是 6。我们需要找到两个数，这两个数的乘积等于常数项 6，同时它们的和等于中间项的系数 5。

第二步：列出可能的组合

接下来，我们列出所有可能的两数组合，使得它们的乘积为 6：

- 1 和 6

- 2 和 3

- -1 和 -6

- -2 和 -3

第三步：验证组合

从上述组合中，我们需要找出哪一对数的和等于 5。显然，2 和 3 满足条件，因为 \( 2 + 3 = 5 \)。

第四步：应用十字法

现在，我们可以使用十字法来完成因式分解。具体步骤如下：

```

1 |2

|/\

| /\

1 |3

```

在十字图中，左上角和右下角的数字相加得到中间项的系数 5，而左下角和右上角的数字相乘得到常数项 6。因此，我们可以得出：

\[ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \]

第五步：检查结果

为了确保我们的答案正确，可以将因式分解后的表达式展开，看看是否与原多项式一致：

\[ (x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6 \]

确实一致，说明我们的解法是正确的。

通过这个例子，我们可以看到十字法在因式分解中的强大之处。它不仅简单易懂，而且能够迅速解决问题。希望这个详细的步骤能帮助你更好地理解和掌握十字法的应用。