首页 > 精选问答 >

z 根号下x2+y2在(0,0)偏导数

2025-07-25 01:08:37

问题描述:

z 根号下x2+y2在(0,0)偏导数,这个怎么操作啊?求快教我!

最佳答案

推荐答案

2025-07-25 01:08:37

z 根号下x2+y2在(0,0)偏导数】一、

函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 是一个典型的二元函数,其图像为一个圆锥面。该函数在原点 $ (0,0) $ 处的可微性以及偏导数的存在性是值得探讨的问题。

从直观上看,函数在 $ (0,0) $ 处的图形是一个尖点,这表明该点可能不是光滑的。因此,在判断偏导数是否存在时,不能直接使用常规的求导法则,而需要通过极限的方式进行验证。

通过对 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数分别进行定义域内的极限计算可以发现,尽管函数在 $ (0,0) $ 处连续,但其偏导数在该点并不存在。这是因为沿着不同路径趋近于原点时,得到的极限不一致,导致偏导数不存在。

二、表格展示

项目 内容
函数表达式 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $
定义域 全平面(所有实数对 $ (x,y) $)
在 $ (0,0) $ 是否连续
在 $ (0,0) $ 是否可微
$ x $ 方向偏导数是否存在
$ y $ 方向偏导数是否存在
原因 沿不同路径趋近于原点时,极限不一致,导致偏导数不存在
图像特征 圆锥面,顶点位于原点,尖锐

三、补充说明

虽然 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在 $ (0,0) $ 处不可微,但在其他点(如 $ (1,0) $ 或 $ (0,1) $)处是可以求偏导数的。例如:

- 对 $ x $ 的偏导数为:$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} $

- 对 $ y $ 的偏导数为:$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} $

然而,在 $ (0,0) $ 处这些表达式无定义,且极限不一致,因此偏导数不存在。

四、结论

函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在点 $ (0,0) $ 处虽然连续,但由于其图形在该点呈现尖点,导致偏导数不存在。这一现象体现了多元函数在某些特殊点上可能出现的“非光滑”特性,提醒我们在处理偏导数问题时需格外注意定义域和极限行为。

免责声明:本答案或内容为用户上传,不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。