【z 根号下x2+y2在(0,0)偏导数】一、
函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 是一个典型的二元函数,其图像为一个圆锥面。该函数在原点 $ (0,0) $ 处的可微性以及偏导数的存在性是值得探讨的问题。
从直观上看,函数在 $ (0,0) $ 处的图形是一个尖点,这表明该点可能不是光滑的。因此,在判断偏导数是否存在时,不能直接使用常规的求导法则,而需要通过极限的方式进行验证。
通过对 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数分别进行定义域内的极限计算可以发现,尽管函数在 $ (0,0) $ 处连续,但其偏导数在该点并不存在。这是因为沿着不同路径趋近于原点时,得到的极限不一致,导致偏导数不存在。
二、表格展示
项目 | 内容 |
函数表达式 | $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ |
定义域 | 全平面(所有实数对 $ (x,y) $) |
在 $ (0,0) $ 是否连续 | 是 |
在 $ (0,0) $ 是否可微 | 否 |
$ x $ 方向偏导数是否存在 | 否 |
$ y $ 方向偏导数是否存在 | 否 |
原因 | 沿不同路径趋近于原点时,极限不一致,导致偏导数不存在 |
图像特征 | 圆锥面,顶点位于原点,尖锐 |
三、补充说明
虽然 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在 $ (0,0) $ 处不可微,但在其他点(如 $ (1,0) $ 或 $ (0,1) $)处是可以求偏导数的。例如:
- 对 $ x $ 的偏导数为:$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} $
- 对 $ y $ 的偏导数为:$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} $
然而,在 $ (0,0) $ 处这些表达式无定义,且极限不一致,因此偏导数不存在。
四、结论
函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在点 $ (0,0) $ 处虽然连续,但由于其图形在该点呈现尖点,导致偏导数不存在。这一现象体现了多元函数在某些特殊点上可能出现的“非光滑”特性,提醒我们在处理偏导数问题时需格外注意定义域和极限行为。