在数学领域中，特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个学科。本文将从基础定义出发，逐步介绍如何求解特征值与特征向量，并结合实例进行详细说明。
一、基本概念
设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的方阵，\( v \) 是非零向量，若存在标量 \( \lambda \)，使得：
\[
A v = \lambda v
\]
则称 \( \lambda \) 为矩阵 \( A \) 的特征值，而 \( v \) 称为对应于 \( \lambda \) 的特征向量。
二、求解步骤
1. 构造特征方程
根据定义，特征值满足以下等式：
\[
(A - \lambda I)v = 0
\]
其中 \( I \) 是单位矩阵。为了使该方程有非零解，必须保证系数矩阵的行列式为零：
\[
\det(A - \lambda I) = 0
\]
这个方程称为特征多项式，其根即为特征值。
2. 计算特征值
将特征多项式展开并求解，得到所有可能的 \( \lambda \) 值。
3. 求解特征向量
对每个特征值 \( \lambda \)，代入原方程 \( (A - \lambda I)v = 0 \)，通过解线性方程组求得对应的特征向量。
三、实例解析
假设我们有一个 \( 2 \times 2 \) 矩阵：
\[
A =
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{bmatrix}
\]
1. 构造特征方程
首先计算 \( A - \lambda I \)：
\[
A - \lambda I =
\begin{bmatrix}
3-\lambda & 1 \\
1 & 3-\lambda
\end{bmatrix}
\]
行列式的计算如下：
\[
\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(3-\lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8
\]
2. 求解特征值
解特征多项式 \( \lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0 \)：
\[
(\lambda - 4)(\lambda - 2) = 0
\]
因此，特征值为 \( \lambda_1 = 4 \) 和 \( \lambda_2 = 2 \)。
3. 求解特征向量
- 对于 \( \lambda_1 = 4 \)，代入 \( (A - 4I)v = 0 \)：
\[
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}
\]
化简后得到 \( x = y \)，故特征向量可表示为 \( [1, 1]^T \)。
- 对于 \( \lambda_2 = 2 \)，类似地可以求得特征向量为 \( [1, -1]^T \)。
四、总结
通过以上步骤，我们可以系统地求解矩阵的特征值与特征向量。这一过程不仅帮助我们理解矩阵的本质特性，还为后续的应用提供了坚实的基础。希望本文能够为你提供清晰的思路和实用的方法！
