【等差数列所有公式大全】等差数列是数学中常见的数列类型，广泛应用于数学、物理、工程等领域。掌握等差数列的相关公式，有助于快速解决相关问题。本文将对等差数列的所有主要公式进行系统总结，并以表格形式展示，便于查阅和理解。
一、基本概念
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，通常用 d 表示；数列的第一项称为首项，用 a₁ 表示。
例如：
1, 3, 5, 7, 9,… 是一个等差数列，其中首项 a₁ = 1，公差 d = 2。
二、常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 计算第n项的值 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 等差数列的通项公式 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 计算前n项的和 |
| 前n项和公式（另一种） | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 适用于已知首项和公差时计算前n项和 |
| 公差公式 | $ d = a_n - a_{n-1} $ | 计算相邻两项的差 |
| 中间项公式 | 若n为奇数，则中间项为 $ a_{\frac{n+1}{2}} $ | 用于求奇数项数列的中间项 |
| 任意两项之间的关系 | $ a_m - a_n = (m - n)d $ | 任意两项之差等于它们的项数差乘以公差 |
三、典型应用举例
1. 求第10项：
已知 a₁ = 3，d = 4，求 a₁₀
解：$ a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 4 = 3 + 36 = 39 $
2. 求前5项和：
已知 a₁ = 2，d = 3，求 S₅
解：$ S_5 = \frac{5}{2}[2 \times 2 + (5 - 1) \times 3] = \frac{5}{2} \times (4 + 12) = \frac{5}{2} \times 16 = 40 $
3. 判断是否为等差数列：
数列：5, 8, 11, 14, 17
检查公差：8 - 5 = 3，11 - 8 = 3，14 - 11 = 3，17 - 14 = 3 → 公差一致，是等差数列。
四、注意事项
- 等差数列的公差可以为正、负或零。
- 当公差为0时，数列为常数数列。
- 等差数列的图像在坐标系中是一条直线。
- 等差数列的前n项和公式可用于求解实际问题中的累计总量。
五、总结
等差数列的公式虽然看似简单，但在实际问题中却有广泛应用。熟练掌握这些公式，不仅能提高解题效率，还能帮助我们更好地理解数列的性质和规律。希望本文能够帮助你全面了解等差数列的相关公式，提升数学学习的效果。
