微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是变化率和累积量的问题。在学习微积分时，理解基本概念和掌握解题技巧是非常关键的。通过具体的例题来练习和巩固这些知识，能够帮助我们更好地理解和应用微积分。

例题一：求函数的导数

题目：已知函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2，求其导数 f'(x)。

解题步骤：

1. 确定公式：根据幂函数求导法则 (d/dx)(x^n) = nx^(n-1)，我们可以对每个项分别求导。

2. 逐项求导：

- 对于 x^3 的导数是 3x^(3-1) = 3x^2

- 对于 -4x^2 的导数是 -42x^(2-1) = -8x

- 对于 5x 的导数是 51x^(1-1) = 5

- 常数项 -2 的导数为 0

3. 合并结果：将各部分的结果相加得到 f'(x) = 3x^2 - 8x + 5

例题二：不定积分计算

题目：求不定积分 ∫(2x^2 + 3x - 1) dx

解题步骤：

1. 分解积分表达式：将多项式分成几个简单的单项式进行积分。

2. 逐一积分：

- 对于 2x^2 的积分是 (2/3)x^3

- 对于 3x 的积分是 (3/2)x^2

- 对于 -1 的积分是 -x

3. 加上常数C：因为这是不定积分，所以需要加上任意常数 C

4. 写出最终答案：∫(2x^2 + 3x - 1) dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 - x + C

例题三：定积分的应用

题目：计算从 x=1 到 x=3 的定积分 ∫(x^2 - 2x + 1) dx

解题步骤：

1. 先求原函数：首先找到被积函数的原函数 F(x)，即 F(x) = (1/3)x^3 - x^2 + x

2. 代入上下限值：将上限 x=3 和下限 x=1 分别代入原函数中计算。

- 当 x=3 时，F(3) = (1/3)(3)^3 - (3)^2 + 3 = 9 - 9 + 3 = 3

- 当 x=1 时，F(1) = (1/3)(1)^3 - (1)^2 + 1 = 1/3 - 1 + 1 = 1/3

3. 求差值：用 F(3) 减去 F(1)

- 差值为 3 - 1/3 = 8/3

4. 得出结果：因此，定积分 ∫(x^2 - 2x + 1) dx 从 x=1 到 x=3 的值为 8/3。

以上三个例子展示了如何利用基本的微积分原理解决不同类型的问题。通过反复练习这类题目，可以提高解题速度和准确性，同时加深对微积分的理解。