【分式不等式的解法】分式不等式是含有分式的不等式，其解法与整式不等式有所不同。常见的分式不等式形式包括：
- $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$
- $\frac{f(x)}{g(x)} < 0$
- $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$
- $\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0$
这类不等式的解法通常涉及确定分子和分母的符号变化，并结合数轴分析法来判断不等式的解集。
分式不等式的解法步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1. 确定定义域 | 首先找出使分母为零的点，这些点不能取，因为分母不能为零。 |
| 2. 将不等式变形 | 将不等式转化为标准形式，如 $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)} < 0$。 |
| 3. 求出分子和分母的零点 | 解方程 $f(x) = 0$ 和 $g(x) = 0$，得到关键点。 |
| 4. 绘制数轴并标出关键点 | 在数轴上标出所有关键点（即分子和分母的零点），将数轴分成若干区间。 |
| 5. 判断每个区间的符号 | 在每个区间中选取一个测试点，代入原不等式，判断该区间的符号是否满足不等式。 |
| 6. 写出解集 | 根据符号判断结果，结合定义域，写出最终的解集。 |
常见类型及解法对比表
| 不等式类型 | 解法要点 | 注意事项 |
| $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ | 找出 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的零点，划分区间，判断符号 | 分母不能为零，注意端点是否包含 |
| $\frac{f(x)}{g(x)} < 0$ | 同上，但只考虑负号区间 | 同上 |
| $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ | 包含等于0的情况，需检查分子是否为零 | 注意分母不能为零 |
| $\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0$ | 同上，但只考虑小于等于0的区间 | 同上 |
示例解析
例题： 解不等式 $\frac{x - 2}{x + 1} > 0$
解法步骤：
1. 定义域：$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
2. 分子零点：$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
3. 分母零点：$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
4. 数轴划分：$(-\infty, -1), (-1, 2), (2, +\infty)$
5. 测试各区间：
- 取 $x = -2$，$\frac{-2 - 2}{-2 + 1} = \frac{-4}{-1} = 4 > 0$ → 满足
- 取 $x = 0$，$\frac{0 - 2}{0 + 1} = \frac{-2}{1} = -2 < 0$ → 不满足
- 取 $x = 3$，$\frac{3 - 2}{3 + 1} = \frac{1}{4} > 0$ → 满足
6. 解集：$(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$
通过以上方法，可以系统地解决大多数分式不等式问题。掌握关键点的分析和符号判断是解题的核心。
