【等比数列的通项公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为“公比”，记作 $ q $。理解等比数列的通项公式是学习数列知识的基础，也是解决实际问题的重要工具。
一、等比数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
- 公比：设首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $。
- 特点：每一项都是前一项乘以公比 $ q $。
二、等比数列的通项公式总结
| 项目 | 内容 |
| 数列类型 | 等比数列 |
| 首项 | $ a_1 $ |
| 公比 | $ q $（$ q \neq 0 $） |
| 第 $ n $ 项 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
| 特点 | 每一项与前一项的比为常数 $ q $ |
| 应用场景 | 金融计算、几何增长、指数模型等 |
三、通项公式的应用举例
例如，已知等比数列的首项为 2，公比为 3，求第 5 项：
$$
a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162
$$
再如，若已知第 3 项为 12，第 5 项为 48，求公比和首项：
$$
a_3 = a_1 \cdot q^2 = 12 \\
a_5 = a_1 \cdot q^4 = 48
$$
将两式相除得：
$$
\frac{a_5}{a_3} = \frac{a_1 q^4}{a_1 q^2} = q^2 = \frac{48}{12} = 4 \Rightarrow q = 2
$$
代入 $ a_3 = a_1 \cdot 2^2 = 12 $ 得：
$$
a_1 = \frac{12}{4} = 3
$$
四、注意事项
- 公比 $ q $ 可以为正数、负数或分数，但不能为 0。
- 当 $ q > 1 $ 时，数列为递增数列；当 $ 0 < q < 1 $ 时，数列为递减数列；当 $ q = 1 $ 时，数列为常数列。
- 若 $ q < 0 $，数列会出现正负交替的现象。
通过掌握等比数列的通项公式，我们可以在实际问题中快速找到任意一项的值，并用于预测、分析或建模。希望本文能帮助你更好地理解和应用等比数列的相关知识。
