【高中三角函数公式有哪些】在高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，涉及角度、弧度、正弦、余弦、正切等基本概念。掌握这些公式不仅有助于解题，还能为后续学习三角恒等变换、三角函数图像与性质打下坚实基础。以下是高中阶段常见的三角函数公式总结。
一、基本三角函数定义
| 名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦（sin） | $ \sin\theta = \frac{y}{r} $ | 对边与斜边的比值 |
| 余弦（cos） | $ \cos\theta = \frac{x}{r} $ | 邻边与斜边的比值 |
| 正切（tan） | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $ | 对边与邻边的比值 |
| 余切（cot） | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $ | 正切的倒数 |
| 正割（sec） | $ \sec\theta = \frac{r}{x} $ | 余弦的倒数 |
| 余割（csc） | $ \csc\theta = \frac{r}{y} $ | 正弦的倒数 |
二、三角函数的基本关系式
| 公式名称 | 公式 |
| 倒数关系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $, $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $, $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $, $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $, $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（用于角度转换）
| 角度变换 | 三角函数值变化规律 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
四、和角与差角公式
| 公式名称 | 公式 |
| 正弦和角公式 | $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $ |
| 正弦差角公式 | $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $ |
| 余弦和角公式 | $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $ |
| 余弦差角公式 | $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $ |
| 正切和角公式 | $ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} $ |
| 正切差角公式 | $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} $ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差与和差化积公式（选学内容）
| 公式类型 | 公式 |
| 积化和差 | $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $ |
| $ \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)] $ | |
| $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $ | |
| $ \sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)] $ | |
| 和差化积 | $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
| $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | |
| $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | |
| $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
通过以上整理，我们可以清晰地看到高中阶段常见的三角函数公式，它们在解题、画图、推导等方面都有重要作用。建议同学们多做练习，熟练掌握这些公式的应用方法。
