【等比数列公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为“公比”。等比数列广泛应用于数学、物理、经济等领域，掌握其基本公式对理解和应用该数列至关重要。

以下是对等比数列相关公式的总结：

一、等比数列的基本概念

- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。

- 公比：记作 $ q $，即 $ q = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $（其中 $ n \geq 2 $）

- 首项：记作 $ a_1 $

二、等比数列的主要公式

三、使用示例

假设有一个等比数列，首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ q = 2 $，求：

1. 第5项是多少？

2. 前5项的和是多少？

3. 如果公比为 $ \frac{1}{2} $，求无穷项的和（若存在）

解答：

1. 第5项：

$$

a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48

$$

2. 前5项和：

$$

S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 32}{-1} = 3 \cdot 31 = 93

$$

3. 无穷项和（$ q = \frac{1}{2} $）：

$$

S = \frac{3}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6

$$

四、注意事项

- 若公比 $ q = 1 $，则所有项都相同，此时前n项和为 $ S_n = a_1 \cdot n $

- 若公比 $ q \geq 1 $，则无穷等比数列不收敛，无法求和

- 在实际问题中，应根据题意判断是否需要使用无穷级数公式

通过掌握这些公式，可以更高效地解决等比数列相关的数学问题，并在实际应用中灵活运用。