【欧几里得算法】欧几里得算法，又称辗转相除法，是数学中一种用于求两个正整数最大公约数（GCD）的经典算法。该算法由古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中提出，至今仍被广泛应用于数论、密码学以及计算机科学等领域。
一、算法原理
欧几里得算法的核心思想是：
两个整数a和b的最大公约数等于b和a mod b的最大公约数。
即：
$$ \gcd(a, b) = \gcd(b, a \mod b) $$
通过不断重复这一过程，直到余数为0时，此时的除数就是这两个数的最大公约数。
二、算法步骤
1. 输入两个正整数a和b（a > b）。
2. 计算a ÷ b的余数r。
3. 将b作为新的a，将r作为新的b。
4. 重复步骤2和3，直到余数r为0。
5. 此时的b即为最大公约数。
三、示例演示
以下是一个使用欧几里得算法求解1071和462最大公约数的例子：
| 步骤 | a | b | r = a % b |
| 1 | 1071 | 462 | 147 |
| 2 | 462 | 147 | 21 |
| 3 | 147 | 21 | 0 |
当余数为0时，当前的b值（21）即为最大公约数。
四、算法特点
| 特点 | 描述 |
| 高效性 | 时间复杂度为O(log min(a, b))，效率高 |
| 简单易实现 | 仅需基本的除法与取余操作，易于编程实现 |
| 应用广泛 | 广泛应用于求最大公约数、分数约简、模运算等场景 |
| 适用于大数 | 即使是很大的整数，也能快速计算出结果 |
五、扩展应用
除了求最大公约数外，欧几里得算法还可用于：
- 求最小公倍数：利用公式 $ \text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)} $
- 求解贝祖等式：找到整数x和y使得 $ ax + by = \gcd(a, b) $
- 密码学中的应用：如RSA算法中需要计算模逆元，常借助扩展欧几里得算法
总结：欧几里得算法是一种简洁而强大的数学工具，不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也表现出色。掌握其原理和应用方式，有助于提升对数论和算法设计的理解。
