【频率和刚度的公式】在机械振动、结构动力学以及工程力学中，频率和刚度是两个非常重要的参数。它们不仅影响系统的稳定性，还决定了系统对外部激励的响应特性。本文将对频率和刚度的相关公式进行总结，并以表格形式展示关键参数及其计算方式。
一、频率的定义与公式
频率（Frequency）是指单位时间内系统完成周期性运动的次数，通常用符号 $ f $ 表示，单位为赫兹（Hz）。在简谐振动中，频率与系统的刚度和质量密切相关。
1. 单自由度系统的固有频率公式：
$$
f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}
$$
- $ f $：固有频率（Hz）
- $ k $：系统刚度（N/m）
- $ m $：质量（kg）
这个公式适用于弹簧-质量系统，是分析振动问题的基础。
2. 多自由度系统的频率分析
对于多自由度系统，频率需要通过求解特征方程来确定，通常涉及矩阵运算。其基本形式为：
$$
\det(K - \omega^2 M) = 0
$$
其中：
- $ K $：刚度矩阵
- $ M $：质量矩阵
- $ \omega $：角频率（rad/s）
二、刚度的定义与公式
刚度（Stiffness）是指物体在受力时抵抗变形的能力，通常用符号 $ k $ 表示，单位为牛顿每米（N/m）。
1. 弹簧的刚度公式：
$$
k = \frac{F}{x}
$$
- $ F $：作用力（N）
- $ x $：位移（m）
该公式适用于线性弹簧，即胡克定律成立的情况。
2. 杆件的轴向刚度公式：
$$
k = \frac{EA}{L}
$$
- $ E $：材料弹性模量（Pa）
- $ A $：截面积（m²）
- $ L $：杆件长度（m）
用于计算轴向拉压刚度。
3. 梁的弯曲刚度公式：
$$
k = \frac{3EI}{L^3}
$$
- $ E $：弹性模量（Pa）
- $ I $：截面惯性矩（m⁴）
- $ L $：梁的跨度（m）
常用于简支梁的弯曲刚度计算。
三、频率与刚度的关系总结表
| 参数 | 公式 | 单位 | 说明 |
| 频率 | $ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} $ | Hz | 单自由度系统的固有频率 |
| 刚度 | $ k = \frac{F}{x} $ | N/m | 弹簧或结构的刚度 |
| 轴向刚度 | $ k = \frac{EA}{L} $ | N/m | 杆件的轴向刚度 |
| 弯曲刚度 | $ k = \frac{3EI}{L^3} $ | N/m | 简支梁的弯曲刚度 |
| 角频率 | $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ | rad/s | 与频率相关，$ \omega = 2\pi f $ |
四、总结
频率和刚度是描述系统动态特性的两个核心参数。频率决定了系统对激励的响应速度，而刚度则反映了系统抵抗变形的能力。两者之间的关系在工程设计中具有重要意义，尤其在减震、降噪和结构优化等方面应用广泛。理解并掌握这些公式，有助于更准确地分析和预测机械系统的性能表现。
