在几何学中，球内接长方体是一个经典的立体几何问题。所谓“球内接长方体”，指的是一个长方体的所有顶点都位于一个球面上。这种情况下，这个球被称为该长方体的外接球，而球的半径则与长方体的长、宽、高之间存在一定的数学关系。

那么，长方体的长、宽、高与球半径之间究竟有什么样的数学表达式呢？

我们可以通过几何分析来推导这一公式。假设长方体的长、宽、高分别为 $ a $、$ b $、$ c $，球的半径为 $ R $。由于长方体的所有顶点都在球面上，因此球心到每个顶点的距离都等于球的半径 $ R $。

考虑长方体的对角线长度，它是从一个顶点到其对角顶点的距离。根据三维空间中的距离公式，长方体的体对角线长度为：

$$

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

$$

而这个体对角线同时也是外接球的直径，即：

$$

2R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

$$

因此，可以得出球半径 $ R $ 与长方体的长、宽、高之间的关系公式为：

$$

R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}

$$

也就是说，当一个长方体被外接于一个球时，球的半径等于该长方体体对角线的一半。这个公式在实际应用中非常有用，尤其是在工程设计、建筑设计以及计算机图形学等领域。

需要注意的是，这个公式仅适用于长方体完全内接于球的情况。如果长方体不是正方体，或者其顶点并未全部接触球面，则该公式不适用。

总结一下：

- 长方体的长、宽、高分别为 $ a $、$ b $、$ c $；

- 外接球的半径为 $ R $；

- 则有公式：

$$

R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}

$$

这就是球内接长方体时，长方体的长宽高与球半径之间的数学关系。理解这一公式不仅有助于掌握立体几何的基本原理，也能在实际问题中提供重要的计算依据。