在高中数学的学习过程中，函数是一个非常重要的知识点。无论是代数、几何还是三角函数，都离不开对函数的理解和应用。为了帮助同学们更好地掌握高中阶段所涉及的各类函数及其相关公式，本文将系统地整理和归纳高中数学中常见的函数类型及其基本公式，便于大家复习与查阅。
一、一次函数
一般形式：
$$ y = kx + b $$
其中，$ k $ 是斜率，$ b $ 是截距。
- 当 $ k > 0 $ 时，函数图像从左向右上升；
- 当 $ k < 0 $ 时，函数图像从左向右下降；
- 当 $ k = 0 $ 时，函数为常数函数 $ y = b $。
二、二次函数
一般形式：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $。
- 图像为抛物线，开口方向由 $ a $ 决定：
- 若 $ a > 0 $，开口向上；
- 若 $ a < 0 $，开口向下。
- 顶点坐标为：
$$ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $$
- 判别式：
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
- 当 $ \Delta > 0 $，有两个不同的实数根；
- 当 $ \Delta = 0 $，有一个实数根（重根）；
- 当 $ \Delta < 0 $，无实数根。
三、反比例函数
一般形式：
$$ y = \frac{k}{x} $$
其中 $ k \neq 0 $。
- 图像为双曲线，位于第一、第三象限（当 $ k > 0 $）或第二、第四象限（当 $ k < 0 $）。
四、指数函数
一般形式：
$$ y = a^x $$
其中 $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $。
- 当 $ a > 1 $，函数在定义域内单调递增；
- 当 $ 0 < a < 1 $，函数在定义域内单调递减。
五、对数函数
一般形式：
$$ y = \log_a x $$
其中 $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $，$ x > 0 $。
- 对数函数是指数函数的反函数。
- 常用对数：$ \log_{10} x $，自然对数：$ \ln x = \log_e x $。
六、三角函数
1. 正弦函数
$$ y = \sin x $$
- 定义域：全体实数
- 值域：$ [-1, 1] $
- 周期：$ 2\pi $
2. 余弦函数
$$ y = \cos x $$
- 定义域：全体实数
- 值域：$ [-1, 1] $
- 周期：$ 2\pi $
3. 正切函数
$$ y = \tan x $$
- 定义域：$ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $（$ k \in \mathbb{Z} $）
- 值域：全体实数
- 周期：$ \pi $
4. 余切函数
$$ y = \cot x $$
- 定义域：$ x \neq k\pi $（$ k \in \mathbb{Z} $）
- 值域：全体实数
- 周期：$ \pi $
七、三角函数的基本公式
1. 同角三角函数关系
- $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $
- $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
- $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $
- $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $
- $ \csc x = \frac{1}{\sin x} $
2. 诱导公式
- $ \sin(-x) = -\sin x $
- $ \cos(-x) = \cos x $
- $ \sin(\pi - x) = \sin x $
- $ \cos(\pi - x) = -\cos x $
- $ \sin(\pi + x) = -\sin x $
- $ \cos(\pi + x) = -\cos x $
3. 和差角公式
- $ \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b $
- $ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b $
- $ \tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b} $
4. 倍角公式
- $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $
- $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x $
- $ \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} $
5. 半角公式
- $ \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} $
- $ \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} $
- $ \tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} $
八、函数的性质
1. 奇偶性
- 偶函数：$ f(-x) = f(x) $，图像关于 y 轴对称
- 奇函数：$ f(-x) = -f(x) $，图像关于原点对称
2. 单调性
- 函数在某个区间内单调递增或递减，取决于导数的正负。
3. 周期性
- 若存在 $ T > 0 $，使得 $ f(x + T) = f(x) $，则称函数为周期函数，T 为其周期。
4. 对称性
- 如轴对称、中心对称等，常见于三角函数和某些多项式函数中。
九、函数图像的变换
1. 平移
- 向上/下平移：$ y = f(x) + b $
- 向左/右平移：$ y = f(x + a) $
2. 伸缩
- 横向伸缩：$ y = f(kx) $，k > 1 时图像横向压缩，0 < k < 1 时图像横向拉伸
- 纵向伸缩：$ y = kf(x) $，k > 1 时图像纵向拉伸，0 < k < 1 时图像纵向压缩
3. 对称
- 关于 x 轴对称：$ y = -f(x) $
- 关于 y 轴对称：$ y = f(-x) $
- 关于原点对称：$ y = -f(-x) $
十、函数的应用
函数不仅是数学的基础工具，也广泛应用于物理、化学、经济、工程等领域。例如：
- 在物理中，位移、速度、加速度都可以表示为时间的函数；
- 在经济中，成本、收入、利润等都可以通过函数模型进行分析；
- 在计算机科学中，算法效率往往用函数来描述。
结语
函数是高中数学的核心内容之一，掌握好各类函数的性质、图像及公式，对于后续学习如导数、积分、微分方程等知识具有重要意义。希望本篇“高中全部函数公式大全”能为大家提供清晰的参考，帮助大家在数学学习中更加得心应手。
