【两圆相交时公共弦怎么求】在平面几何中，当两个圆相交时，它们会有一个共同的弦，这个弦称为“公共弦”。公共弦是两个圆相交部分的边界线，也是连接两个交点的线段。掌握如何求解公共弦，对于理解圆与圆的位置关系、几何作图以及解析几何问题都有重要意义。

以下是对“两圆相交时公共弦怎么求”的总结与分析：

一、公共弦的基本概念

二、求公共弦的方法

方法1：几何法（利用圆心连线与垂直平分线）

1. 确定两圆的圆心和半径

设圆O₁的圆心为 (x₁, y₁)，半径为 r₁；圆O₂的圆心为 (x₂, y₂)，半径为 r₂。

2. 计算两圆心之间的距离 d

$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $

3. 判断是否相交

若 r₁ - r₂ < d < r₁ + r₂，则两圆相交。

4. 找到公共弦所在直线

公共弦所在的直线是两圆心连线的垂直平分线。

5. 求出交点坐标

解联立方程：

$$

(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2 \\

(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2

$$

得到两个交点 A 和 B，AB 即为公共弦。

方法2：代数法（通过方程减法）

1. 写出两圆的一般方程

圆O₁: $ x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 $

圆O₂: $ x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 $

2. 将两式相减

$$

(D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + (F_1 - F_2) = 0

$$

这就是公共弦所在直线的方程。

3. 求交点

将该直线方程与任一圆的方程联立，解得两个交点。

三、公共弦的长度公式

若已知两圆圆心 O₁、O₂，半径 r₁、r₂，且两圆相交，则公共弦的长度 L 可以用以下公式计算：

$$

L = 2 \sqrt{r_1^2 - \left( \frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d} \right)^2}

$$

其中 d 是两圆心之间的距离。

四、总结表格

五、注意事项

- 公共弦始终垂直于两圆心的连线。

- 当两圆外切或内切时，公共弦退化为一个点或不存在。

- 在实际应用中，如图形设计、工程制图等，公共弦常用于构造对称结构或辅助线。

通过上述方法，可以系统地求解两圆相交时的公共弦，适用于初中、高中乃至大学阶段的几何学习与应用。