【等差数列的求和公式】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差为一个常数。这个常数称为公差。等差数列的求和公式是解决相关问题的重要工具，能够快速计算出等差数列前n项的和。
一、等差数列的基本概念
- 首项（a₁）：数列的第一个数。
- 末项（aₙ）：数列的第n个数。
- 公差（d）：相邻两项之间的差值。
- 项数（n）：数列中包含的项的数量。
- 和（Sₙ）：前n项的总和。
二、等差数列的求和公式
等差数列的求和公式如下：
$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$
或
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前n项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ a_n $ 是第n项；
- $ d $ 是公差；
- $ n $ 是项数。
三、使用公式的关键点
1. 已知首项、末项和项数时，使用第一种公式更方便。
2. 已知首项、公差和项数时，使用第二种公式更合适。
3. 末项可以通过公式 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ 计算出来。
四、典型例题解析
| 题目 | 已知条件 | 解答过程 | 结果 |
| 1 | 首项为3，末项为15，项数为7 | $ S_7 = \frac{7}{2}(3 + 15) = \frac{7}{2} \times 18 = 63 $ | 63 |
| 2 | 首项为2，公差为4，项数为10 | $ S_{10} = \frac{10}{2}[2 \times 2 + (10 - 1) \times 4] = 5[4 + 36] = 5 \times 40 = 200 $ | 200 |
| 3 | 首项为5，公差为-3，项数为6 | $ a_6 = 5 + (6 - 1)(-3) = 5 - 15 = -10 $ $ S_6 = \frac{6}{2}(5 + (-10)) = 3 \times (-5) = -15 $ | -15 |
五、总结
等差数列的求和公式是解决实际问题的有效工具，掌握两种常见形式有助于灵活应对不同的题目。通过理解首项、末项、公差和项数之间的关系，可以快速准确地计算出数列的和。
表格总结：
| 公式名称 | 公式表达式 | 使用场景 |
| 基本求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 知道首项、末项和项数 |
| 代数形式 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 知道首项、公差和项数 |
通过合理选择公式，可以高效解决等差数列的求和问题。
