【三角变换公式】在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了更方便地进行计算和分析，人们总结出一系列三角变换公式，这些公式可以帮助我们简化表达式、求解方程以及进行角度转换等操作。
以下是对常见三角变换公式的总结，结合文字说明与表格形式，便于查阅和理解。
一、基本三角恒等式
1. 毕达哥拉斯恒等式
- $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
- $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$
2. 倒数关系
- $\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta}$
- $\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta}$
- $\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}$
3. 商数关系
- $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
- $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
二、诱导公式（角度转换）
| 角度 | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
| $-\theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\pi - \theta$ | $\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\pi + \theta$ | $-\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| $2\pi - \theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
三、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin(A \pm B)$ | $\sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
| $\cos(A \pm B)$ | $\cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
| $\tan(A \pm B)$ | $\frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ |
四、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin(2A)$ | $2\sin A \cos A$ |
| $\cos(2A)$ | $\cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$ |
| $\tan(2A)$ | $\frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$ |
五、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin\left(\frac{A}{2}\right)$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$ |
| $\cos\left(\frac{A}{2}\right)$ | $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$ |
| $\tan\left(\frac{A}{2}\right)$ | $\frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}$ |
六、积化和差公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin A \cos B$ | $\frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ |
| $\cos A \cos B$ | $\frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ |
| $\sin A \sin B$ | $\frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ |
七、和差化积公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin A + \sin B$ | $2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\sin A - \sin B$ | $2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\cos A + \cos B$ | $2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\cos A - \cos B$ | $-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
总结
三角变换公式是处理三角函数问题时的重要工具，掌握这些公式有助于提高计算效率和逻辑推理能力。无论是学习还是应用，合理使用这些公式都能起到事半功倍的效果。通过表格形式的整理，可以更清晰地看到各类公式的结构与用途，便于记忆与运用。
