【数列求和公式】在数学中，数列的求和是一个重要的基础内容，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。根据数列的不同类型，求和公式也有所不同。本文将对常见的数列及其求和公式进行总结，并通过表格形式直观展示。

一、等差数列求和公式

等差数列是指每一项与前一项的差为定值的数列，记作 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $，其中 $ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

$$

或

$$

S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d

$$

二、等比数列求和公式

等比数列是指每一项与前一项的比为定值的数列，记作 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $，其中 $ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比。

求和公式：

当 $ r \neq 1 $ 时，

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

若 $ r < 1 $，则无穷等比数列的和为：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

三、自然数列求和公式

自然数列是首项为 1，公差为 1 的等差数列，即 $ 1, 2, 3, \ldots, n $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)}{2}

$$

四、平方数列求和公式

平方数列是各项为自然数平方的数列，即 $ 1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2 $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$

五、立方数列求和公式

立方数列是各项为自然数立方的数列，即 $ 1^3, 2^3, 3^3, \ldots, n^3 $。

求和公式：

$$

S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

$$

六、其他常见数列求和

总结

数列求和公式是数学中的重要工具，能够帮助我们快速计算数列的总和。不同类型的数列有不同的求和方法，掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对数列性质的理解。在实际应用中，应根据数列的类型选择合适的公式进行计算。