【向量组的维数是什么】在向量空间理论中，向量组的维数是一个非常基础但重要的概念。它描述了由一组向量所张成的向量空间的“大小”或“维度”。理解向量组的维数，有助于我们分析线性相关性、基底、秩等关键问题。
下面我们将从定义、性质和计算方法三个方面进行总结，并通过表格形式清晰展示相关内容。
一、定义与基本概念
- 向量组：由若干个向量组成的集合。
- 向量空间：由这些向量经过线性组合后所能生成的所有向量的集合。
- 维数：向量空间中极大线性无关组中向量的个数，也称为该空间的维度。
二、关键性质
| 属性 | 内容 |
| 向量组的维数 | 是指由该向量组所张成的空间的维数 |
| 线性相关性 | 若向量组线性相关，则其维数小于向量个数 |
| 极大线性无关组 | 是向量组中能表示整个空间的最简向量集合 |
| 基底 | 向量组的基底是其极大线性无关组，且能唯一表示空间中的所有向量 |
| 秩 | 向量组的秩等于其维数，即极大线性无关组的个数 |
三、如何计算向量组的维数？
1. 将向量组写成矩阵的形式（列向量为列）。
2. 对矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵。
3. 统计非零行的个数，即为该向量组的秩，也就是维数。
四、示例说明
假设有一个向量组：
$$
\vec{v}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\quad
\vec{v}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\quad
\vec{v}_3 = \begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}
$$
将它们组成一个矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}
$$
对矩阵进行行变换，得到：
$$
\text{Row Echelon Form} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
可见，有2个非零行，因此该向量组的维数为 2。
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 向量组的维数是其所张成空间的维度 |
| 判断依据 | 由极大线性无关组决定 |
| 计算方式 | 通过矩阵行变换确定非零行数 |
| 关键点 | 与秩相同，反映向量组的独立程度 |
结论：向量组的维数是衡量其张成空间大小的重要指标，可以通过矩阵的秩来判断。理解这一概念对于进一步学习线性代数、矩阵理论和应用数学具有重要意义。
