【sin135度等于sin45怎么证明】在三角函数的学习中，常常会遇到一些角度之间的关系问题。比如，“sin135度等于sin45度”这个说法是否正确？如果正确，该如何证明呢？本文将通过总结和表格的形式，清晰地展示这一结论的推导过程。
一、基本概念回顾
- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，sinθ = 对边 / 斜边；在单位圆中，sinθ 表示的是终边与单位圆交点的纵坐标。
- 角度范围：通常使用0°到360°来表示角度，也可以用弧度制（如π/2、π等）。
- 象限知识：sin值在第一、第二象限为正，在第三、第四象限为负。
二、sin135°与sin45°的关系分析
135°位于第二象限，而45°位于第一象限。根据三角函数的性质，sin(180° - θ) = sinθ，因此：
$$
\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ)
$$
这说明两者是相等的。
三、具体数值验证
| 角度 | 正弦值（近似） |
| 45° | √2/2 ≈ 0.7071 |
| 135° | √2/2 ≈ 0.7071 |
从表中可以看出，sin135°与sin45°的值完全相同。
四、几何解释（单位圆）
在单位圆中，135°的终边位于第二象限，其坐标为 $(-\cos(45^\circ), \sin(45^\circ))$，即 $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$。因此，sin135° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，与sin45°一致。
五、总结
- sin135° = sin(180° - 45°) = sin45°
- 数值上两者均为√2/2
- 几何上两者在单位圆中具有相同的y坐标
六、表格总结
| 项目 | 内容 |
| 角度 | 135° 和 45° |
| 所属象限 | 135°在第二象限，45°在第一象限 |
| 关系公式 | sin(180° - θ) = sinθ |
| 数值结果 | √2/2 ≈ 0.7071 |
| 几何解释 | 单位圆中y坐标相同 |
| 结论 | sin135° = sin45° |
通过以上分析和表格对比，我们可以明确地得出结论：sin135°确实等于sin45°，这是基于三角函数的对称性和单位圆的几何特性得出的。
