【数学期望公式】在概率论与统计学中，数学期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中的平均表现。数学期望可以理解为一个随机变量所有可能取值按照其发生的概率加权后的平均值。它不仅在理论研究中有广泛应用，在实际问题中如金融、保险、工程等领域也具有重要意义。
一、数学期望的基本定义
设随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则数学期望 $ E(X) $ 定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
对于连续型随机变量 $ X $，数学期望的计算方式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中 $ f(x) $ 是概率密度函数。
二、数学期望的性质
数学期望具有以下基本性质：
| 性质 | 描述 |
| 线性性 | $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $（其中 $ a, b $ 为常数） |
| 常数期望 | $ E(c) = c $（$ c $ 为常数） |
| 非负性 | 若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $ |
| 可加性 | $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $（无论是否独立） |
这些性质使得数学期望在处理复杂随机变量组合时非常方便。
三、常见分布的数学期望
以下是一些常见的概率分布及其对应的数学期望：
| 分布类型 | 概率质量/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $，$ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $，$ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、应用举例
假设某次考试中，考生得分 $ X $ 的分布如下：
| 得分 $ x_i $ | 概率 $ p_i $ |
| 60 | 0.1 |
| 70 | 0.3 |
| 80 | 0.4 |
| 90 | 0.2 |
则该考试的数学期望为：
$$
E(X) = 60 \times 0.1 + 70 \times 0.3 + 80 \times 0.4 + 90 \times 0.2 = 6 + 21 + 32 + 18 = 77
$$
这表明，从平均来看，考生的得分大约为 77 分。
五、总结
数学期望是概率论中衡量随机变量“中心位置”的重要指标，能够帮助我们预测和分析随机事件的长期趋势。无论是离散型还是连续型随机变量，数学期望都可以通过相应的公式进行计算。掌握数学期望的概念和性质，有助于我们在实际问题中做出更合理的决策和判断。
