【点到面的距离公式】在三维几何中，点到平面的距离是一个重要的概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。理解并掌握点到平面的距离公式，有助于解决许多实际问题，如空间定位、碰撞检测等。

本文将对“点到面的距离公式”进行总结，并以表格形式展示关键内容，帮助读者快速掌握相关知识点。

一、公式概述

点到平面的距离是指从一个点出发，垂直于该平面的最短距离。设平面上任意一点为 $ P_0(x_0, y_0, z_0) $，平面的一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

而点 $ P(x_1, y_1, z_1) $ 到该平面的距离 $ d $ 的计算公式为：

$$

d = \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；

- $ D $ 是平面常数项；

- 分母表示法向量的模长。

二、公式推导思路（简要）

1. 法向量：平面的法向量为 $ \vec{n} = (A, B, C) $。

2. 向量方向：从点 $ P $ 到平面上某点 $ P_0 $ 的向量为 $ \vec{PP_0} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1) $。

3. 投影长度：点 $ P $ 到平面的距离是 $ \vec{PP_0} $ 在法向量上的投影绝对值。

4. 公式简化：通过向量点积和模长计算得出最终公式。

三、关键参数说明

四、应用举例

假设有一个平面方程为 $ 2x + 3y - z + 5 = 0 $，求点 $ (1, 2, 3) $ 到该平面的距离。

代入公式：

$$

d = \frac{2(1) + 3(2) - 1(3) + 5}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{2 + 6 - 3 + 5}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{10}{\sqrt{14}} \approx 2.67

$$

五、注意事项

- 若点位于平面上，则距离为 0；

- 公式适用于所有类型的平面（包括斜面）；

- 如果已知平面的法向量和一点，也可以使用向量方法计算距离；

- 计算时注意符号，取绝对值避免负数影响结果。

六、总结

点到平面的距离公式是解析几何中的基础工具之一，其核心思想是利用法向量的方向和点与平面之间的关系，计算出最短距离。掌握这一公式不仅有助于理论学习，也能在实际问题中发挥重要作用。

通过以上内容，希望你对“点到面的距离公式”有了更清晰的理解。