【什么是连续函数】在数学中，连续函数是一个非常基础且重要的概念，广泛应用于微积分、分析学以及许多实际问题中。简单来说，连续函数是指其图像在定义域内没有“断裂”或“跳跃”的函数。下面我们将从定义、性质和判断方法等方面进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、定义
连续函数：设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处有定义，若当 $ x $ 趋近于 $ x_0 $ 时，$ f(x) $ 的极限等于 $ f(x_0) $，即：
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
$$
则称 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处连续。如果函数在其定义域内的每一点都连续，则称为连续函数。
二、连续函数的性质
| 性质 | 内容 |
| 1. 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数 | 若 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都连续，则它们的运算结果也连续 |
| 2. 连续函数的复合仍为连续函数 | 若 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处连续，$ g(x) $ 在 $ f(x_0) $ 处连续，则 $ g(f(x)) $ 在 $ x_0 $ 处连续 |
| 3. 闭区间上的连续函数具有最大值与最小值 | 即满足极值定理 |
| 4. 闭区间上的连续函数满足介值定理 | 若 $ f(a) < k < f(b) $，则存在 $ c \in (a, b) $ 使得 $ f(c) = k $ |
三、判断函数是否连续的方法
| 方法 | 说明 |
| 1. 极限法 | 计算 $ \lim_{x \to x_0} f(x) $ 并与 $ f(x_0) $ 比较 |
| 2. 图像观察法 | 观察图像是否“无断点”或“无跳跃” |
| 3. 分段函数检查 | 对于分段函数，需分别检查每个区间的连续性及端点处的连续性 |
| 4. 利用已知连续函数的组合 | 如多项式、指数函数、三角函数等通常都是连续的 |
四、常见连续函数举例
| 函数类型 | 示例 | 是否连续 |
| 多项式函数 | $ f(x) = x^2 + 3x - 5 $ | 是 |
| 指数函数 | $ f(x) = e^x $ | 是 |
| 三角函数 | $ f(x) = \sin x $ | 是 |
| 有理函数 | $ f(x) = \frac{1}{x} $ | 在定义域内连续，但 $ x=0 $ 不连续 |
| 分段函数 | $ f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ x-1, & x \geq 0 \end{cases} $ | 在 $ x=0 $ 处不连续 |
五、总结
连续函数是数学中一个非常直观又严谨的概念。它描述了函数在定义域内“平滑”变化的特性，是研究导数、积分、极限等高级数学内容的基础。理解连续性的定义和性质，有助于我们更好地掌握微积分的核心思想。
通过以上文字与表格的结合，我们可以更清晰地把握“什么是连续函数”这一基本问题的本质与应用。
