【高中正态分布公式】正态分布是统计学中非常重要的一个概率分布模型，广泛应用于数学、物理、社会科学等多个领域。在高中阶段，学生需要掌握正态分布的基本概念、公式及其应用方法。本文将对高中阶段涉及的正态分布公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、正态分布的基本概念
正态分布（Normal Distribution）是一种连续型概率分布，其图像呈钟形曲线，具有对称性。正态分布由两个参数决定：均值（μ）和标准差（σ）。记作：
$$
X \sim N(\mu, \sigma^2)
$$
其中：
- μ 是总体的平均数；
- σ 是总体的标准差；
- σ² 是方差。
二、正态分布的概率密度函数
正态分布的概率密度函数（PDF）为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中：
- $ x $ 是随机变量；
- $ \mu $ 是均值；
- $ \sigma $ 是标准差；
- $ e $ 是自然对数的底（约等于 2.71828）。
三、标准正态分布
当均值 μ = 0，标准差 σ = 1 时，称为标准正态分布，记作：
$$
Z \sim N(0, 1)
$$
标准正态分布的概率密度函数为：
$$
f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}
$$
四、正态分布的标准化（Z 分数）
将任意正态分布 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ 转化为标准正态分布 $ Z \sim N(0, 1) $ 的公式为：
$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$$
这个过程称为“标准化”，用于比较不同正态分布的数据。
五、正态分布的累积概率
正态分布的累积概率是指随机变量小于或等于某个值的概率，即：
$$
P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)
$$
其中 Φ 表示标准正态分布的累积分布函数（CDF）。
六、常用正态分布公式总结表
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正态分布概率密度函数 | $ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 描述正态分布的形状 |
| 标准正态分布 | $ Z \sim N(0, 1) $ | 均值为 0，标准差为 1 的正态分布 |
| 标准化公式 | $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $ | 将任意正态变量转换为标准正态变量 |
| 累积概率 | $ P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) $ | 计算随机变量小于等于某值的概率 |
| 概率计算 | $ P(a < X < b) = \Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right) $ | 计算区间概率 |
七、应用举例
例如，若某次考试成绩服从正态分布 $ N(70, 10^2) $，求成绩在 60 到 80 之间的概率：
1. 标准化：
- $ Z_1 = \frac{60 - 70}{10} = -1 $
- $ Z_2 = \frac{80 - 70}{10} = 1 $
2. 查标准正态分布表：
- $ \Phi(1) \approx 0.8413 $
- $ \Phi(-1) \approx 0.1587 $
3. 求概率：
- $ P(60 < X < 80) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 $
即大约有 68.26% 的学生成绩在 60 到 80 之间。
总结
正态分布在高中数学中是一个重要知识点，掌握其基本公式和应用方法有助于解决实际问题。通过标准化、查表、计算区间概率等步骤，可以有效地分析和预测数据分布情况。理解并熟练运用这些公式，是提升统计思维能力的重要途径。
