【数列求和公式】在数学中，数列的求和是一个常见的问题。不同的数列类型有不同的求和公式，掌握这些公式有助于快速计算数列的前n项和。本文将对常见的数列类型及其求和公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。

一、等差数列求和公式

等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，项数为 $ n $，则其通项公式为：

$$

a_n = a_1 + (n - 1)d

$$

其前 $ n $ 项和公式为：

$$

S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d

$$

二、等比数列求和公式

等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $（$ r \neq 1 $），项数为 $ n $，则其通项公式为：

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

$$

其前 $ n $ 项和公式为：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

当 $ r < 1 $ 且 $ n \to \infty $ 时，无穷等比数列的和为：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

三、自然数列求和公式

自然数列是首项为1，公差为1的等差数列，即：1, 2, 3, ..., n。

其前 $ n $ 项和公式为：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)}{2}

$$

四、平方数列求和公式

平方数列是各项为自然数平方的数列，即：1², 2², 3², ..., n²。

其前 $ n $ 项和公式为：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$

五、立方数列求和公式

立方数列是各项为自然数立方的数列，即：1³, 2³, 3³, ..., n³。

其前 $ n $ 项和公式为：

$$

S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

$$

六、其他常见数列求和

除了上述几种基本数列外，还有一些特殊的数列如调和数列、斐波那契数列等，它们的求和公式较为复杂或没有简单的闭合表达式。例如：

- 调和数列：$ H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} $，没有简单公式。

- 斐波那契数列：前n项和无标准公式，但可通过递推计算。

数列求和公式总结表

通过以上总结，我们可以快速找到不同数列的求和方法。在实际应用中，理解数列的性质并选择合适的公式是关键。希望本文能帮助读者更好地掌握数列求和的相关知识。