【数列的单调和有界是怎么定义的】在数学中，数列是按一定顺序排列的一组数，通常用 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots $ 表示。为了研究数列的变化趋势和极限行为，我们需要了解数列的单调性和有界性这两个基本概念。
一、数列的单调性
单调性指的是数列中的项随着下标的增大而呈现出某种规律性的变化，可以是递增或递减。
定义如下：
| 类型 | 定义 |
| 单调递增 | 对于任意正整数 $ n $，都有 $ a_{n+1} \geq a_n $ |
| 单调递减 | 对于任意正整数 $ n $，都有 $ a_{n+1} \leq a_n $ |
| 严格单调递增 | 对于任意正整数 $ n $，都有 $ a_{n+1} > a_n $ |
| 严格单调递减 | 对于任意正整数 $ n $，都有 $ a_{n+1} < a_n $ |
> 注意：单调性不考虑数列是否收敛，只是描述其变化趋势。
二、数列的有界性
有界性是指数列的所有项都在某个范围内，不会无限变大或变小。
定义如下：
| 类型 | 定义 |
| 有上界 | 存在一个实数 $ M $，使得对所有 $ n $，都有 $ a_n \leq M $ |
| 有下界 | 存在一个实数 $ m $，使得对所有 $ n $，都有 $ a_n \geq m $ |
| 有界 | 同时满足有上界和有下界，即存在两个实数 $ m $ 和 $ M $，使得 $ m \leq a_n \leq M $ 对所有 $ n $ 成立 |
> 注意：有界是判断数列是否收敛的重要条件之一（如单调有界定理）。
三、总结表格
| 概念 | 定义说明 | 特点说明 |
| 单调性 | 数列项随下标增加而递增或递减 | 可分为单调递增、单调递减、严格单调等 |
| 有界性 | 数列的所有项都在某个有限区间内 | 包括有上界、有下界、同时有上下界 |
| 单调有界定理 | 如果一个数列是单调且有界的，则该数列一定收敛 | 是分析数列极限的重要工具 |
四、实际例子
| 数列 | 单调性 | 有界性 | 是否收敛 |
| $ a_n = n $ | 单调递增 | 无上界 | 不收敛 |
| $ a_n = \frac{1}{n} $ | 单调递减 | 有界 | 收敛于0 |
| $ a_n = (-1)^n $ | 非单调 | 有界 | 不收敛 |
| $ a_n = 1 + \frac{1}{n} $ | 单调递减 | 有界 | 收敛于1 |
通过理解数列的单调性和有界性，我们可以更好地分析数列的极限行为，并为后续学习极限、级数等内容打下基础。
