【商的导数公式是什么】在微积分中，求函数的导数是分析函数变化率的重要手段。当两个函数相除时，即一个函数作为分子，另一个函数作为分母时，其导数的计算需要用到“商的导数法则”。下面将对商的导数公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、商的导数公式
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则该函数的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式也被称为“商法则”（Quotient Rule），是求导过程中非常常用的一个规则。
二、商的导数公式总结表
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 商的导数公式 | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ | 用于求两个可导函数相除后的导数 |
| 分子部分 | $ u'(x)v(x) $ | 分子函数的导数乘以分母函数 |
| 减去部分 | $ -u(x)v'(x) $ | 分子函数乘以分母函数的导数 |
| 分母部分 | $ [v(x)]^2 $ | 分母函数的平方 |
三、使用注意事项
1. 分母不能为零：在应用商法则时，必须确保 $ v(x) \neq 0 $，否则公式无意义。
2. 先求导再代入：应分别求出 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 的导数 $ u'(x) $ 和 $ v'(x) $，然后再代入公式。
3. 简化表达式：有时可以对结果进行化简，使其更易理解或便于进一步运算。
四、举例说明
设 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $，则：
- $ u(x) = x^2 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = \sin x $，$ v'(x) = \cos x $
根据商的导数公式：
$$
f'(x) = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{(\sin x)^2}
$$
五、总结
商的导数公式是微积分中的基础内容之一，掌握它有助于解决更多复杂的函数求导问题。通过表格形式的总结，可以更加直观地理解公式的结构与应用方式。在实际计算中，注意分母不为零、正确求导并合理化简，是提高计算准确性的关键。
