【幂级数收敛半径的求法】在数学分析中，幂级数是研究函数展开和性质的重要工具。对于一个形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$ 的幂级数，其收敛性取决于变量 $x$ 与中心点 $x_0$ 之间的距离。而“收敛半径”则是衡量该幂级数收敛范围的关键参数。

为了准确判断一个幂级数的收敛范围，我们需要计算它的收敛半径 $R$。以下是几种常见的求解方法及其适用条件，便于学习者快速掌握和应用。

一、常用方法总结

二、具体步骤说明

1. 使用比值法

对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$，若 $\lim_{n \to \infty} \left\frac{a_n}{a_{n+1}}\right$ 存在，则收敛半径为：

$$

R = \lim_{n \to \infty} \left\frac{a_n}{a_{n+1}}\right

$$

2. 使用根值法

若 $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$ 存在，则收敛半径为：

$$

R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}}

$$

3. 验证端点收敛性

在确定了收敛半径 $R$ 后，需分别将 $x = x_0 + R$ 和 $x = x_0 - R$ 代入原级数，判断端点处的级数是否收敛，从而得到完整的收敛区间。

三、实例分析

例1： 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

- 使用比值法：

$$

\left\frac{a_n}{a_{n+1}}\right = \left\frac{n!}{(n+1)!}\right = \frac{1}{n+1} \to 0

$$

所以 $R = \infty$，即该级数在整个实数轴上都收敛。

例2： 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - 1)^n}{n}$

- 使用根值法：

$$

\sqrt[n]{\left\frac{1}{n}\right} = \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \to 1

$$

所以 $R = 1$，收敛区间为 $(0, 2)$，需要进一步判断端点 $x = 0$ 和 $x = 2$ 处的收敛性。

四、注意事项

- 收敛半径 $R$ 是一个非负实数，表示幂级数在 $x_0$ 周围的一个圆内绝对收敛。

- 当 $R = 0$ 时，仅在 $x = x_0$ 处收敛；当 $R = \infty$ 时，整个实数域内都收敛。

- 实际应用中，应结合两种方法（比值法和根值法）进行交叉验证，确保结果的准确性。

五、总结

幂级数的收敛半径是判断其收敛范围的核心指标，常用的求法包括比值法和根值法。在实际操作中，选择合适的方法可以提高计算效率和准确性。同时，对端点的进一步检验也是完整分析幂级数收敛性的必要步骤。

通过上述方法和步骤，学习者可以系统地掌握幂级数收敛半径的求法，并灵活应用于各类数学问题中。