在数学领域中，三角函数是不可或缺的一部分，而它们的导数更是微积分学习中的重要知识点之一。今天，我们就来探讨一个经典的问题：“tanx的导数是什么？”

首先，我们需要明确什么是导数。导数是用来描述函数在某一点上的变化率，它反映了函数曲线在该点的切线斜率。对于基本的三角函数而言，求导是一个非常基础且重要的技能。

现在，我们聚焦于正切函数（tanx）。正切函数定义为sinx/cosx，因此它的导数可以通过商法则来计算。商法则的基本形式如下：

如果 \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \)，那么 \( f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \)。

将正切函数代入公式中，我们有 \( g(x) = \sin x \) 和 \( h(x) = \cos x \)。分别对这两个函数求导，得到 \( g'(x) = \cos x \) 和 \( h'(x) = -\sin x \)。

接下来，应用商法则：

\[ (\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \]

简化分子部分：

\[ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \]

因此，最终结果为：

\[ (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \]

而 \( \frac{1}{\cos^2 x} \) 在数学中通常写作 \( \sec^2 x \)，所以我们可以得出结论：

\[ (\tan x)' = \sec^2 x \]

这就是正切函数的导数公式。这一公式的推导过程不仅帮助我们理解了三角函数的性质，还加深了我们对导数概念的认识。

总结来说，正切函数的导数是其自身平方的余割函数（即 \( \sec^2 x \)）。这个结论在解决许多微积分问题时都非常有用，尤其是在处理与周期性变化相关的实际问题时。

希望这篇文章能够帮助大家更好地理解和记忆这个重要的数学知识点！

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