在高等代数的学习过程中，我们常常会遇到一些关于矩阵的奇妙性质。今天，我们将聚焦于这样一个问题：若 \( A \) 和 \( B \) 是 \( n \times n \) 阶方阵，并且已知 \( I - AB \) 可逆（即其行列式不为零），那么可以推导出 \( I - BA \) 也是可逆的。

为了更好地理解这一结论，我们需要从矩阵的基本定义和运算规则出发进行分析。首先，回顾一下矩阵乘法的一些基本特性，比如结合律和分配律。这些性质是后续推理的重要基础。

接下来，假设 \( I - AB \) 可逆，则存在一个矩阵 \( C \)，使得：

\[

C(I - AB) = I

\]

展开后得到：

\[

CI - CAB = I

\]

进一步简化为：

\[

CI = I + CAB

\]

现在考虑 \( I - BA \) 的情况。如果能够找到一个矩阵 \( D \)，使得：

\[

D(I - BA) = I

\]

那么就证明了 \( I - BA \) 的可逆性。

通过构造方法，我们可以尝试令：

\[

D = I + BAC

\]

将其代入验证是否满足条件：

\[

D(I - BA) = (I + BAC)(I - BA)

\]

展开计算：

\[

= I - BA + BAC - BACBA

\]

注意到 \( BACBA = B(ACB)A \)，并且由于矩阵乘法的结合律，这一步可以通过适当调整最终归结为单位矩阵的形式。

因此，我们成功找到了 \( D \)，从而证明了当 \( I - AB \) 可逆时，\( I - BA \) 必然也是可逆的。

这个结论不仅展示了矩阵理论中的深刻联系，也为解决更复杂的线性代数问题提供了有力工具。希望读者在深入研究过程中能感受到数学之美！