在物流配送领域，优化运输路线是降低成本的重要手段之一。节约里程法（Saving Method）是一种经典的车辆路径规划算法，它通过减少配送中心到各个客户之间的总行驶距离来实现成本的最小化。本文将通过一个具体的实例来详细说明节约里程法的操作步骤和应用方法。
问题描述
假设某物流公司有一个配送中心，需要向五个客户配送货物。每个客户的坐标如下：
- 客户A (0, 5)
- 客户B (3, 4)
- 客户C (6, 2)
- 客户D (4, 0)
- 客户E (1, 1)
配送中心位于原点(0, 0)。每辆车的最大载重量为无限大，但公司希望尽量减少总的运输距离以降低燃油成本。
计算各点之间的欧几里得距离
首先，我们需要计算配送中心与每个客户之间以及客户之间的直接距离。使用公式 \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)，我们可以得到以下距离矩阵：
| | A | B | C | D | E |
|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
| A | 0 | 5 | 7.81| 5 | 5.09|
| B | 5 | 0 | 5 | 4.47| 4.12|
| C | 7.81| 5 | 0 | 6.32| 6.4 |
| D | 5 | 4.47| 6.32| 0 | 4.12|
| E | 5.09| 4.12| 6.4 | 4.12| 0 |
配送中心到各点的距离分别为：
- A: 5
- B: 5
- C: 7.81
- D: 4
- E: 5.09
构建初始路径
开始时，我们假设每个客户单独由一辆车服务。这样会产生五条路径：{A}, {B}, {C}, {D}, {E}。此时总运输距离为所有单点到配送中心的距离之和，即 \(5 + 5 + 7.81 + 4 + 5.09 = 26.9\).
应用节约里程法
接下来，我们逐步合并路径，每次选择能够带来最大节约里程的两个路径进行合并，直到不能再进一步优化为止。
第一步：计算节约量
对于任意两个客户 \(i\) 和 \(j\)，它们与配送中心之间的节约量定义为：
\[S_{ij} = d_{0i} + d_{0j} - d_{ij}\]
其中 \(d_{0i}\) 是配送中心到客户 \(i\) 的距离，\(d_{0j}\) 是配送中心到客户 \(j\) 的距离，而 \(d_{ij}\) 是客户 \(i\) 到客户 \(j\) 的距离。
根据上述公式，我们可以计算出所有可能的节约量：
| | A-B | A-C | A-D | A-E | B-C | B-D | B-E | C-D | C-E | D-E |
|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
| 节约量 | 3 | 0.19| 1 | 0.91| 0 | 1.47| 1.12| 1.48| 1.31| 0.24|
第二步：选择最大节约量并合并路径
从上面的表格中可以看到，最大的节约量为3，对应的是客户A和客户B之间的合并。因此，我们将路径{A}和{B}合并成一个新的路径{A, B}。
更新后的路径集合为：{A, B}, {C}, {D}, {E}。此时总运输距离变为：
\[ (5 + 5 - 3) + 7.81 + 4 + 5.09 = 23.9 \]
第三步：重复过程
继续寻找下一个最大的节约量。从剩余的节约量中，最大的节约量为1.48，对应的是客户C和客户D之间的合并。于是我们将路径{C}和{D}合并成新的路径{C, D}。
更新后的路径集合为：{A, B}, {C, D}, {E}。此时总运输距离变为：
\[ (5 + 5 - 3) + (7.81 + 4 - 6.32) + 5.09 = 21.58 \]
第四步：最终优化
最后，寻找剩余路径间的最大节约量。此时最大的节约量为1.12，对应的是客户B和客户E之间的合并。因此，我们将路径{A, B}和{E}合并成新的路径{A, B, E}。
最终的路径集合为：{A, B, E}, {C, D}。此时总运输距离为：
\[ (5 + 5 - 3 + 4.12) + (7.81 + 4 - 6.32) = 21.31 \]
结论
通过节约里程法的应用，我们成功地将最初的总运输距离26.9减少到了21.31，显著降低了公司的运营成本。这种方法简单实用，尤其适用于具有多个配送点的情况。希望这个例子能帮助您更好地理解和应用节约里程法！
