在高中数学中，数列是一个重要的学习内容，而“错位相减法”则是解决某些特殊数列求和问题的一种常用方法。尤其在等差数列与等比数列结合的情况下，使用错位相减法可以有效地简化运算过程。下面将通过一道典型的例题来展示如何运用这一方法，并附上详细的解题步骤。
例题：
已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = (2n - 1) \cdot 3^n$，求数列前 $n$ 项和 $S_n$。
解题思路：
本题中，数列的每一项是由一个一次函数 $2n - 1$ 和一个等比数列 $3^n$ 相乘得到的，因此这是一个“等差乘以等比”的数列结构。这类数列通常采用“错位相减法”进行求和。
步骤详解：
设该数列的前 $n$ 项和为：
$$
S_n = 1 \cdot 3^1 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \cdots + (2n - 1) \cdot 3^n
$$
第一步：写出原式：
$$
S_n = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \cdots + (2n - 1) \cdot 3^n \quad \text{(1)}
$$
第二步：将原式两边同时乘以公比 $3$：
$$
3S_n = 1 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3^4 + \cdots + (2n - 1) \cdot 3^{n+1} \quad \text{(2)}
$$
第三步：用（1）式减去（2）式：
$$
S_n - 3S_n = [1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \cdots + (2n - 1) \cdot 3^n] - [1 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3^4 + \cdots + (2n - 1) \cdot 3^{n+1}]
$$
左边为：
$$
-2S_n
$$
右边展开后，各项对齐相减：
$$
= 1 \cdot 3 + (3 \cdot 3^2 - 1 \cdot 3^2) + (5 \cdot 3^3 - 3 \cdot 3^3) + \cdots + [(2n - 1) \cdot 3^n - (2n - 3) \cdot 3^n] - (2n - 1) \cdot 3^{n+1}
$$
观察每一项：
- 第一项是 $1 \cdot 3$
- 第二项是 $(3 - 1) \cdot 3^2 = 2 \cdot 3^2$
- 第三项是 $(5 - 3) \cdot 3^3 = 2 \cdot 3^3$
- ……
- 最后一项是 $-(2n - 1) \cdot 3^{n+1}$
所以整体可写为：
$$
-2S_n = 3 + 2(3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n) - (2n - 1) \cdot 3^{n+1}
$$
第四步：计算中间的等比数列和：
$$
3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n = \frac{3^2(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = \frac{9(3^{n-1} - 1)}{2}
$$
代入得：
$$
-2S_n = 3 + 2 \cdot \frac{9(3^{n-1} - 1)}{2} - (2n - 1) \cdot 3^{n+1}
$$
化简：
$$
-2S_n = 3 + 9(3^{n-1} - 1) - (2n - 1) \cdot 3^{n+1}
$$
$$
= 3 + 9 \cdot 3^{n-1} - 9 - (2n - 1) \cdot 3^{n+1}
$$
$$
= -6 + 3^{n+1} - (2n - 1) \cdot 3^{n+1}
$$
$$
= -6 + 3^{n+1}(1 - (2n - 1))
$$
$$
= -6 + 3^{n+1}(2 - 2n)
$$
$$
= -6 + 2(1 - n) \cdot 3^{n+1}
$$
第五步：解出 $S_n$：
$$
-2S_n = -6 + 2(1 - n) \cdot 3^{n+1}
$$
两边同除以 -2：
$$
S_n = 3 - (1 - n) \cdot 3^{n+1}
$$
$$
S_n = 3 + (n - 1) \cdot 3^{n+1}
$$
最终答案：
$$
S_n = (n - 1) \cdot 3^{n+1} + 3
$$
小结：
本题通过“错位相减法”成功地将一个复杂的数列求和问题转化为等比数列求和的问题，进而得出结果。这种方法适用于形如 $a_n = (an + b) \cdot r^n$ 的数列，掌握好这个技巧对于高一学生来说非常重要。
