【除数求导运算法则】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。对于涉及除法的函数，如 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，我们需要使用专门的求导法则来计算其导数。这个法则通常被称为“除数求导运算法则”，也常被称为“商法则”。
一、基本概念
当一个函数由两个可导函数相除构成时，即：
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
$$
其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，我们可以使用商法则来求其导数。
二、商法则（除数求导运算法则）
商法则公式如下：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
其中：
- $ u'(x) $ 是分子函数 $ u(x) $ 的导数；
- $ v'(x) $ 是分母函数 $ v(x) $ 的导数；
- 分母为 $ [v(x)]^2 $，表示分母的平方。
三、总结与应用
| 概念 | 内容 |
| 函数形式 | $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ |
| 导数公式 | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
| 应用场景 | 适用于所有可导函数的除法形式 |
| 注意事项 | 分母不能为零，且需分别对分子和分母求导 |
四、示例说明
假设 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $，则：
- $ u(x) = x^2 + 1 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x - 3 $，$ v'(x) = 1 $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}
= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2}
= \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}
$$
五、小结
“除数求导运算法则”是处理分式函数导数的关键方法。通过将分子和分母分别求导并按特定公式组合，可以高效地计算复杂函数的导数。掌握这一法则有助于提升对函数变化规律的理解，并在实际问题中灵活运用。
注： 本文内容基于基础微积分知识，旨在帮助学习者理解并正确应用商法则。
