【数学导数公式】在微积分中，导数是一个非常重要的概念，用于描述函数的变化率。掌握常见的导数公式是学习微积分的基础。以下是对常见数学导数公式的总结，便于查阅和记忆。
一、基本导数公式
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数表达式 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、导数的运算法则
| 法则名称 | 公式表达 |
| 常数倍法则 | $ (cf(x))' = c f'(x) $ |
| 和差法则 | $ (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) $ |
| 积法则 | $ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
五、高阶导数简介
高阶导数是指对原函数连续求导多次得到的结果。例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $
- 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $
高阶导数在物理、工程等领域有广泛应用，如加速度就是位移的二阶导数。
通过掌握这些基本的导数公式与运算法则，可以更高效地解决微积分中的相关问题。建议在实际应用中结合具体题目进行练习，以加深理解和记忆。
