【点到平面的距离公式】在三维几何中，计算一个点到一个平面的距离是一个常见的问题。这个距离可以帮助我们了解点与平面之间的相对位置关系，常用于计算机图形学、工程设计和数学建模等领域。本文将总结点到平面的距离公式的推导过程，并通过表格形式对关键内容进行归纳。

一、点到平面的距离公式

设有一个平面 π，其一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中，$A, B, C$ 是平面的法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$ 的分量，$D$ 是常数项。

又设有一点 $P(x_0, y_0, z_0)$，求该点到平面 π 的距离 $d$，则有如下公式：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

该公式是基于向量投影原理推导得出的，表示点 P 在法向量方向上到平面的最短距离。

二、公式说明

- 分子部分：$Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$ 表示点 P 到平面的代数距离（带符号），取绝对值后得到实际距离。

- 分母部分：$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ 是法向量的模长，用来归一化距离，使其单位一致。

三、公式应用举例

假设有一个平面 $2x - 3y + 6z - 12 = 0$，点 $P(1, 2, 3)$，求点 P 到该平面的距离。

根据公式：

$$

d = \frac{2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 - 12}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 12}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{2}{\sqrt{49}} = \frac{2}{7}

$$

因此，点 P 到该平面的距离为 $ \frac{2}{7} $。

四、关键知识点总结表

五、注意事项

- 若平面方程未标准化（即 $A^2 + B^2 + C^2 \neq 1$），需使用上述公式进行归一化处理。

- 当点在平面上时，距离为 0；当点不在平面上时，距离为正数。

- 公式适用于所有三维空间中的点和平面。

通过以上内容，我们可以清晰地理解点到平面的距离公式及其应用场景。掌握这一公式有助于解决许多实际问题，提升空间思维能力。