【期望与方差公式】在概率论和统计学中，期望与方差是描述随机变量基本特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值或长期趋势，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。掌握这些公式对于理解数据分布、进行统计分析和预测具有重要意义。
以下是对常见离散型与连续型随机变量的期望与方差公式的总结：
一、期望（Expected Value）
期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均结果，也称为数学期望。
| 随机变量类型 | 定义式 | 公式 |
| 离散型随机变量 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) $ | $ E(X) = \sum x_i p_i $ |
| 连续型随机变量 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx $ | $ E(X) = \int x f(x) dx $ |
二、方差（Variance）
方差表示随机变量与其期望之间的差异程度，即数据的波动性。方差越大，数据越分散；反之，则越集中。
| 随机变量类型 | 定义式 | 公式 |
| 离散型随机变量 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i) $ | $ Var(X) = \sum (x_i - \mu)^2 p_i $ |
| 连续型随机变量 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \int (x - E(X))^2 \cdot f(x) dx $ | $ Var(X) = \int (x - \mu)^2 f(x) dx $ |
此外，方差还可以通过以下公式计算：
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常用分布的期望与方差
为了便于理解和应用，下面列出一些常见概率分布的期望与方差：
| 分布名称 | 概率质量函数/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Poisson(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、小结
- 期望反映的是随机变量的“中心位置”；
- 方差反映的是随机变量的“离散程度”；
- 不同类型的随机变量有不同的期望与方差表达方式；
- 掌握这些公式有助于更深入地理解概率模型和数据分析方法。
通过合理运用期望与方差，我们可以更好地评估风险、预测结果以及进行统计推断。
