【期望值公式是怎样的】在概率论与统计学中，期望值是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中平均结果的数学期望。它可以帮助我们在不确定的情况下做出更合理的决策。那么，期望值的公式究竟是怎样的呢？下面将从基本定义、计算方法和实际应用三个方面进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、期望值的基本定义
期望值（Expected Value）是指在所有可能的结果中，根据其发生的概率加权平均后的数值。简单来说，它是对“平均结果”的一种数学表达。
二、期望值的计算公式
1. 离散型随机变量的期望值公式：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中：
- $ x_i $：第 $ i $ 个可能的结果；
- $ P(x_i) $：对应结果 $ x_i $ 的概率；
- $ n $：所有可能结果的数量。
2. 连续型随机变量的期望值公式：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中：
- $ f(x) $：概率密度函数。
三、期望值的实际应用
期望值广泛应用于金融投资、保险、赌博、游戏策略等领域。例如，在投资中，投资者可以通过计算不同项目的期望收益来选择最优方案；在赌博中，庄家利用期望值确保长期盈利。
四、期望值公式总结表
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 离散型随机变量 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) $ | 每个结果乘以其概率后求和 |
| 连续型随机变量 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx $ | 对概率密度函数积分得到期望 |
| 应用场景 | 投资、保险、游戏等 | 用于预测长期平均结果 |
五、小结
期望值是概率论中的核心概念之一，帮助我们理解和量化不确定性下的平均结果。无论是简单的掷骰子游戏，还是复杂的金融模型，期望值都能提供一个有效的分析工具。掌握期望值的计算方法，有助于我们在面对多种选择时做出更理性的判断。
